(a)

Elke logische relatie heeft binnen

T

^·(v,d) al haar complement.

In de verzameling

T

^·(v,d) bestaat voor elk element, d.i. een logische relatie

T

^·(v,d)_[t1], precies één logisch- semantisch complementair element.
Het toevoegen van negaties leidt dus voor elk voorkomen van één van de d (positieve) atomaire elementen uit T ^·(v,d)_[i1] in een deelverzameling

U

^{·(v ,d)}_[k1] tot een (syntactische) doublure èn een dubbele negatie van zijn complement , d.i. negatieve versie. Voor elk voorkomen van één van de (t^·(v,d) -v - v

*

d ) samengestelde elementen uit

T

^·(v,d) in zo'n deelverzameling leidt het toevoegen van negaties tot een parafrase, d.i. synonieme versie van zijn complement.
(b)

Elke deelverzameling heeft binnen

U

^·(v,d) al haar complement.

Op dezelfde manier bestaat in de verzameling

U

^·(v,d) voor elke subset

U

^·(v,d)_[k1] ook één logisch-semantisch complementaire subset.
Omdat met de subsets van

U

^·(v,d) al alle mogelijke combinaties van elementen uit

T

^·(v,d) zijn ondervangen, leidt het toevoegen van negaties slechts tot een explosie van doublures.

(4.2.1)

Valentievariatie bij basiselementen.

Deze varianten zijn op een heel eenvoudige manier afleidbaar uit de voorgaande verzamelingen.
We zagen dat elke subset

U

^·(v,d)_[k1] van

U

^·(v,d) een lengte (omvang) van l_[k1] elementen (of proposities) heeft. Deze komt overeen met het aantal eindelementen n1

:=

l_[k1] in de boomstructuur van elke logische redeneervorm in

t_m^*

( n1). Dit aantal is gelijk aan het aantal plaatsen waar wel of niet een valentie (d.i. negatie als éénplaatsig connectief) bij eindelementen kan worden ingevoegd. Het bepaalt dus het aantal verdelingen - de mogelijke variatie - van valenties.

(4.2.2)

Valentievariatie bij nesten.

Hier ligt de zaak wat complexer. De varianten in een verzameling

t_m*

(n1) verschillen onderling immers in het aantal inbeddingen die ze bevatten. Dit aantal varieert van één, dat is het nest voor het hoofdconnectief (de root) bij minimale nestingdiepte; tot (n1 -1 ) bij maximale nestingdiepte, althans in geneste structuren met alleen minstens-tweeplaatsige clusters.
Met het aantal nesten varieert het aantal plaatsen voor negaties van nesten per boom, en daarmee de exponent van de herhalingsvariatie respectievelijk de factor van valentievariatie over nesten tussen de boomstructuren. De totale valentievariatie over nesten in de verzameling boomstructuren is hierdoor niet direct lineair te berekenen.

(4.3)

Volgordevariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.

In de boomstructuur van een bepaalde redeneervorm bestaan in het algemeen uiteraard op allerlei manieren volgordevariaties (of permutaties).

Vormen van volgordevariatie en hun relevantie.

Volgordevariaties blijken in verschillende vormen en dimensies te kunnen voorkomen, zoals uit onderstaande voorbeelden blijkt:

We zien nu dat we deze grote variatie aanzienlijk kunnen vereenvoudigen.

Differentiatie van elementen.

We gaan in een concrete redenering uit van een verzameling objecten, atomaire formules, of eindelementen, die onderling onderscheiden zijn, alfabetisch of numeriek. Zodra de volgorde een rol speelt, worden onderscheid en dus ook benaming van de eindelementen relevant.

Voorbeeld.

Voor elk element i1 uit een verzameling valentievarianten

t_mv^* _A

(n1) bestaat een reeks volgordevariaties over de n1 eindelementen.
Omdat de geneste structuur bij deze volgordevariatie behouden blijft, blijven de volgordevarianten uniek voor dat element.

Volgordevariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.

(4.4)

Connectiefvariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.

Uiteraard kunnen connectieven in logische formules variëren. Dit zijn ook de componenten die het meest beslissend zijn voor de opbouw, de samenhang en de geldigheidswaarde ( validiteit) van de gehele formule. Het type connectief is dus een variabele die semantisch zeer relevant is. Daarom is het ook interessant om de connectiefvariantie op syntactisch niveau te berekenen.
In de boomstructuur van een redeneervorm waarin elke inbedding expliciet is gemaakt, is er binnen één en hetzelfde nest precies één type connectief, ongeacht het aantal elementen dat het bevat. (Hetzelfde connectiefsymbool kan in een nest herhaald worden of eenmalig worden vermeld door middel van prefixnotatie). Dit betekent dat elke boomstructuur evenveel connectiefplaatsen heeft als nesten.
Stel we hebben voor een willekeurige boomstructuur de keuze uit c1 connectiefsymbolen. Voor het baseline niveau (het eerste nest) blijven alle c1 beschikbare opties voor het connectief open. Willen de inbeddingen in logische formules (c.q. geneste structuren) zinvol blijven, dan moeten de connectieven van het ene naar het andere nest verschillend zijn. Anders, bij gelijke connectieven, vallen immers de onderscheidingen tussen die nesten (c.q. de ronde haken) weg volgens de meest minimale regels van syntactische efficiëntie.
Wanneer we eenmaal voor een bepaalde boom het hoofdconnectief hebben gekozen, dan liggen dus alle eventuele andere connectieven (van de subnesten) van die boom gedeeltelijk vast. Elk nest op een niveau na de basislijn heeft daardoor c1 opties voor het connectief minus één van het daaraan voorgaande parent nest. Dan blijft over voor elk volgend nest de keuze uit c1 -1 connectieven. Dit geldt op dezelfde manier voor nesten die op hetzelfde niveau liggen.
De connectiefvariatie van onderling nevengeschikte nesten wordt daarom op dezelfde manier berekend als die van ingebedde c.q. ondergeschikte nesten.
De connectiefvariatie is bovendien onafhankelijk van de valentievariatie en de volgordevariatie.
De connectiefvariatie C_m(n1,c1)_[i1] wordt in het algemeen bij een aantal connectiefsymbolen c1 en een aantal nesten c.q. connectiefplaatsen N_m( n1)_t[i1]:
Wanneer het aantal connectiefsymbolen minder dan drie is, wordt de connectiefvariatie per structuurvariant gelijk aan dat aantal, bovendien constant, en onafhankelijk van het aantal nesten, waardoor de connectiefvariatie voor de hele verzameling bomen eenvoudig gelijk wordt aan het produkt van dit aantal en de omvang van de verzameling.

Connectiefvariatie bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.

In een geneste boomstructuur met symmetrische (meerplaatsige) connectieven hebben we voor de connectiefplaatsen in principe de keuze uit alle denkbare symbolen of coderingen voor alle mogelijke logische relaties in de geldende verzameling

T

^·(v,d). In dit specifieke geval zijn daartegen twee bezwaren:
Uit pragmatisch oogpunt zullen we de keuze hier daarom beperken tot de verzameling symmetrische connectieven die het meest gangbaar zijn: conjunctie, disjunctie, equivalentie, en exclusief disjunctie.


(4.5)

Deelverzamelingen per lengte bij symmetrische (meerplaatsige) connectieven.

Subsets van redeneervormen.

We hebben tot dusver bekeken hoeveel varianten van syntactische structuren (redeneervormen, boomstructuren) mogelijk zijn met n1 unieke basiselementen. We verkregen uiteindelijk, als voorbeeld, de verzamelingen van boomstructuren met minstens-tweeplaatsige nesten

t_mv,o,c^*

(n1,c1), die elk bestaan uit alle mogelijke unieke structuurvarianten, negatievarianten, volgordevarianten , en !i>connectiefvarianten bij een verzameling van n1 mogelijke unieke tekenreeksen (strings) en c1 connectiefsymbolen.

Concordantie met semantiek.

Elk element binnen een verzameling

t_mv,o,c^*

(n1,c1 ) met n1 voorkomens van basiselementen vormt een unieke variant van de mogelijke syntactische representaties van een deelverzameling

U

^·(v,d)_[k1] met omvang c.q. lengte (n1

:=

l_[k1] ) uit

U

^·(v,d) die de power set is van de verzameling logische relaties

T

^·(v,d) die een omvang heeft van t^{·(v,d )}.

Partitionering naar omvang.

De deelverzamelingen van

U

^·(v,d) kunnen we groeperen in partities met gelijke lengte (1 ≤ l_[k1] ≤ t^{·(v,d )} ). Voor elk van de deelverzamelingen in zo'n partitie is er dus een verzameling

t_mv,o,c ^*

(n1,c1) van boomstructuren met minstens-tweeplaatsige nesten met gelijk aantal basiselementen n1 bij c1 connectiefsymbolen. (Die boomstructuren stammen - uiteraard - van steeds een unieke opgeordende selectie uit de verzameling

T

^{·(v,d )}).